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(−1)×(−1)=1の数学的証明が凄すぎて大草原

1:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:26:59ID:Lrk
足し算の定義:0と−が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ
 0の定義:a+0=a
 −の定義:−a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c
これらの定義だけを使って(−1)×(−1)=1を証明することができます
(−1)×(−1)
=(−1)×(−1)+0        ※0の定義
=(−1)×(−1)+(−1+1)   ※−の定義
=(−1)×(−1)+(−1)+1   ※結合法則
=(−1)×(−1)+(−1)×1+1 ※1の定義
=(−1)×(−1+1)+1      ※分配法則
=(−1)×0+1           ※−の定義
=(−1)×0+1+0         ※0の定義
=(−1)×0+0+1         ※交換法則
=(−1)×0+(−1+1)+1    ※−の定義
=(−1)×0+(−1)+1+1    ※結合法則
=(−1)×0+(−1)×1+1+1  ※1の定義
=(−1)×(0+1)+1+1     ※分配法則
=(−1)×(1+0)+1+1     ※交換法則
=(−1)×1+1+1         ※0の定義
=−1+1+1             ※1の定義
=0+1                ※−の定義
=1+0                ※交換法則
=1                  ※0の定義
2:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:27:34ID:8L4
すごい(小並感)
6:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:29:14ID:LtL
よく読んだら言ってることが分かるのがすごい
確かに定義から完璧に証明できてる
4:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:28:39ID:BlX
まあ借金がどうとか後ろ向きに歩いたらどうとかそういう具体例じゃ数学の証明にはならんよね
ちゃんと定義から証明できるんだね
5:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:28:57ID:ZQT
しゅごい
7:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:29:47ID:w6l
分配法則がキモなのかね?
13:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:31:24ID:vBq
>>7
そうだよ
分配法則を満たすように掛け算を負の数まで拡張するためにはマイナス×マイナスをプラスにするしかないんや
分配法則が本質
それを厳密にしっかり証明したのが>>1やね
8:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:29:47ID:1DW
マイナスにマイナスくっつけてもプラスにはならんと思うがな
9:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:29:47ID:DiX
ぐうの音も出ない正論が証明やからな
10:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:30:42ID:ueV
フェルマーの最終定理の証明過程なんて考えたくもないな
11:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:30:50ID:GGJ
だから証明問題はいややねん
あんなんひねくれてなきゃできんやろ(すごい)
12:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:31:15ID:1DW
数学のテストいっつも15点くらいやったわ
14:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:32:24ID:dqw
この証明問題出したら答えれる受験生どんだけおるにゃろ
20:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:34:17ID:vAV
>>14
これ大学2年生レベルやで…
ワイ大学2年の代数の授業(環の定義)で似たようなことやった
まあ内容は中学生でも分かりそうだけどね
15:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:32:30ID:Cs7
1つも突っ込みどころがない完璧な論理が数学の証明だもんな
そら借金が減って〜とか言ってるようじゃレベルがちゃうわ
16:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:33:00ID:fGR
e^iπ*e^iπ=e^i2π=cos2π+isin2π=1+i0=1
17:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:33:50ID:ZlA
>>16
オイラーの公式ぐうすこ
ワイらの公式は何やろね
19:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:34:01ID:k0h
>>17
18:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:33:56ID:dqw
たぶん半分の大学生はこれ無理やろ
21:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:34:47ID:k0h
やってることはわかる
いきなりやれと言われたら無理
23:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:34:48ID:BCI
あーもう一回言ってくれ(池沼)
25:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:36:04ID:ghe
上から順に読んだら確かに定義しか使ってなくて凄いと思った
だけど自分で証明するのは絶対に無理や
数学やってるやつはみんなこれ自分で証明できるんか?
45:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:48:31ID:vBq
>>25
大抵の人は瞬殺やで
群とか環の定義と性質を理解してればできるからね
ただ専門分野が解析系の人はできないかも
26:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:36:18ID:VDb
1×0=0っていうのは掛け算の定義ではないんやな
28:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:37:49ID:ZlA
>>26
1×(−1+1)から辿ることになるんやろね
29:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:38:06ID:vBq
>>26
ちゃうで
0というのは足し算しても変わらない数というのが定義や
そんで0の定義と分配法則からa×0=0が証明できる
43:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:46:51ID:1Dd
>>26
ワイ天才
>>1を読んで完璧に証明のやり方を理解する
a×0
=a×0+0 ※0の定義
=a×0+(−a+a) ※−の定義
=a×0+(−a)+a ※結合法則
=a×0+a+(−a) ※交換法則
=a×0+a×1+(−a) ※1の定義
=a×(0+1)+(−a) ※分配法則
=a×(1+0)+(−a) ※交換法則
=a×1+(−a) ※0の定義
=a+(−a) ※1の定義
=−a+a ※交換法則
=0 ※−の定義
合ってる?
48:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:53:00ID:vBq
>>43
合ってる
一発でこれ書けたのは才能あるで
数学やったほうがええで
27:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:36:57ID:DNW
なんやこれ草
本当にあってるんか?
47:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:52:05ID:vBq
>>27
合ってるで
突っ込みどころがあるとしたら
>=(−1)×0+1+0         >>0の定義
>=(−1)×0+0+1         ※交換法則
この部分やな
ここは交換法則と結合法則を両方使ってる
a+b+c=a+(b+c)=a+(c+b)=a+c+b
とすべきなんやな正確にやるなら
30:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:38:11ID:qTh
こんなん覚えて何に使えるんや(文並感)
39:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:41:28ID:lmB
理解するのにめっちゃ時間かかったわ
ヤッパ数学はむずかしい
41:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:43:45ID:6UB
ワイ文系、途中までうんうんと読んでいくも分配法則で「は?」となる
49:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:56:21ID:zkN
>>41
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c
a=-1
b=-1
c=1
とすると
(-1)×(-1+1)=(-1)×(-1)+(-1)×1
だから
(−1)×(−1)+(−1)×1+1
=(−1)×(−1+1)+1      ※分配法則
やろ
42:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:45:39ID:xJM
1+1=2の証明と比べたら大したことなかった
118:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:58:08ID:kGL
>>42
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011667290?fr=rcmd_chie_detail
これかな?
0.記号の説明
 n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。
1.自然数の体系
 まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
 集合N、その中の一つの元0(今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「1+1=2」の証明には何ら差し支えない)、および写像s:N→Nの組(N,0,s)が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ:
(P1)s:N→Nは単射である。
(P2)0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3)S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S(すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S)ならば、S=Nである。
 これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
 新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
Siegelzero02/07/
3112:30ppA4JJpLCWK0
2.帰納的定義の原理
 以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。
【定理1】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t:X→Xとが与えられたとする。その時次の性質(1)(2)を持つような写像f:N→Xがただ一つ存在する:
(1)f(0)=x
(2)全てのn∈Nに対してf(s(n))=t(f(n))
(証明)本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。
 この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。
3.自然数の加法
 定理1を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。
【定理2】mを与えられた自然数とするとき、
(A1)f_m(0)=m
(A2)f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m:N→Nが一意に存在する。
(証明)定理1においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。(終)
 任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く(この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく)。条件(A1)(A2)によって
? m+0=m
? m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
? 0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
? s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら?から?によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち
【定理3】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。
(証明)上記?から?によるが、少々長くなるので文献におまかせ。
Siegelzero02/07/3112:30ppA4JJpLCWK0
4.「1+1=2」の証明
 上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「1+1=2」の何を示したいのかを考えておく。それは、
 (*)『「1」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「2」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「2」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。
 さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「1」という記号で表せば、??によって
? s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「1」を「加える」写像”n→n+1に他ならない』のである。
 ここまでくれば「1+1=2」を示すことが出来る。
 s(1)、つまり「1の後継者」を「2」という記号で表せば?より
 s(1)=1+1
 ∴2=1+1(証明終)
 以上が証明のアウトラインです。ここまで見てみれば、「1」や「2」という「記号」は全く本質的ではなく、結局(*)や?が一番重要なのである。
50:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)16:57:31ID:DiX
数学科に行った人の地獄を見てきたみたいな態度はなんなんや
51:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)17:02:09ID:XOC
一般教養の論理学の講義で足し算の証明やらされて死ぬかと思ったわ
53:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)17:07:13ID:tOC
>>51
文系で論理学は辛いわ
ワイも記号論理学分からなさすぎて泣いた
54:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)17:11:22ID:XOC
>>53
ホンマやね
述語論理の基礎くらいまでは何とかなったけど健全性の証明あたりで嫌になって行かなくなったわ
56:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)18:05:12ID:0mo
おう…
57:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:51:36ID:szf
★(−1)×(−1)=1の数学的証明★
足し算の定義:0と−が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
 0の定義:a+0=a
 −の定義:−a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c
これらの定義だけを用いて(−1)×(−1)=1を証明する
(−1)×(0+1)+1+1
=(−1)×0+(−1)×1+1+1  ※分配法則
=(−1)×0+(−1)+1+1    ※1の定義
=(−1)×0+(−1+1)+1    ※結合法則
=(−1)×0+0+1         ※−の定義
=(−1)×0+1           ※0の定義
=(−1)×(−1+1)+1      ※−の定義
=(−1)×(−1)+(−1)×1+1 ※分配法則
=(−1)×(−1)+(−1)+1   ※1の定義
=(−1)×(−1)+(−1+1)   ※結合法則
=(−1)×(−1)+0        ※−の定義
=(−1)×(−1)          ※0の定義
(−1)×(0+1)+1+1
=(−1)×(1+0)+1+1     ※交換法則
=(−1)×1+1+1         ※0の定義
=−1+1+1            ※1の定義
=0+1                ※−の定義
=1+0                ※交換法則
=1                  ※0の定義
∴(−1)×(−1)=1    Q.E.D.
65:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:00:35ID:Fw1
>>57
これは読みやすい!
有能
59:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:56:19ID:oHe
数学って国語と同じようなもんなのね
60:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:57:28ID:zCs
>>59
国語よりも厳密だけどな
62:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:58:29ID:NFO
>>59
数式は言葉ってよく言うからな
世界一論理的な言語だと考えればいいやろ
67:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:09:49ID:2mj
>>59
ほんこれ数学できるけど国語は苦手とか国語はできるけど数学はってやつは単にやり方知らないだけと思う
まあ国語は言葉の裏を察したり数学は見方を変えたりとが必要だけど
61:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:57:46ID:JYV
分からん上から読んでも分からんワイはやっぱりアホなんやな
64:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)19:59:19ID:YBG
>>61
文系ワイでも分かったぞ
クッソ分かりやすいやん
数学ってこういうことなんやなぁって思った
72:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:39:25ID:bs0
ワイ「10進数を基本にしたことが、人類最大の失敗である」
73:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:40:53ID:JYV
足し算の定義と掛け算の定義が分からん0と−が存在するってどういう事やねん
77:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:49:37ID:DmP
>>73
どんなaに対してもa+x=aとなるようなxが存在するような演算を足し算と呼ぼう
そんでこのxを0と名付けよう
96:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:18:02ID:JYV
>>77
遅くなったけどサンガツ
でもやっぱり分かりそうで分からんわ…
97:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:19:31ID:E9A
>>96
0がないと困るやん
結合法則成り立たないと困るやん
そういう不可欠なのを抽出したのが足し算の定義やん
100:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:26:36ID:JYV
>>97
うーん分からん
「存在して」ってそら存在するやんって感じや何か日本語の問題やろか
102:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:30:38ID:vBq
>>96
高校までしか数学やってないなら疑問に思うのは正しいで
数学では演算を抽象化して捉えるんや
足し算とか掛け算とか言ってるのは中高年が想像する足し算や掛け算よりももっと抽象化された概念なんや
例えばベクトルの足し算とか行列の足し算とか集合の足し算とか全部足し算の一種
もちろん中高年が2+3=5みたいにやる馴染みのある足し算も足し算の一種ということになる
こういう色んな足し算に共通する性質が0があってどんな数にも−があって結合法則や交換法則を満たすということ(ちなみにベクトルの足し算では長さのないベクトルが0、集合の足し算では空集合が0)
そんでこの性質を満たすものを全部足し算と呼ぶんや
例えば0と1しかなくて0+0=0、0+1=1、1+1=0とするって勝手に決めても足し算の定義を満たすから数学的にはこれも立派な足し算になるんや
だけど0なしで勝手に演算を決めてもそれは足し算とは呼ばない
0があるっていうのは足し算の本質的な特徴の一つやからこれがないと足し算について証明した色んな定理が使えなくなってしまうわけ
こんな感じで分かるか?
112:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)21:44:07ID:JYV
>>102
高校生までしかまで読んだ(嘘です全部読みました)
ほんまにサンガツやで丁寧すぎてびっくりしてもうた
全部分かった言うたら嘘なるけどさっきより理解は深まった思う雰囲気は掴めたわサンガツやで
とか−っていう記号の意味する概念が存在するって事を定義してるって感じかなちょっと数学楽しそうやな
75:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:47:10ID:UiX
ワイガイジ、ガチで発狂する
地図帳眺めて暗記する方が楽しいわ
76:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:47:27ID:OBv
★(−1)×(−1)=1の数学的証明★
【定義】
足し算の定義:0と−が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
 0の定義:a+0=a
 −の定義:−a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c
これらの定義だけを用いて(−1)×(−1)=1を証明する
【証明】
(−1)×(−1+1+1)+1+1
=(−1)×(−1+1)+(−1)×1+1+1 ※分配法則
=(−1)×(−1+1)+(−1)+1+1   ※1の定義
=(−1)×(−1+1)+(−1+1)+1   ※結合法則
=(−1)×(−1+1)+0+1        ※−の定義
=(−1)×(−1+1)+1          ※0の定義
=(−1)×(−1)+(−1)×1+1     ※分配法則
=(−1)×(−1)+(−1)+1       ※1の定義
=(−1)×(−1)+(−1+1)       ※結合法則
=(−1)×(−1)+0            ※−の定義
=(−1)×(−1)               ※0の定義
(−1)×(−1+1+1)+1+1
=(−1)×(0+1)+1+1          ※−の定義
=(−1)×(1+0)+1+1          ※交換法則
=(−1)×1+1+1             ※0の定義
=−1+1+1                 ※1の定義
=0+1                    ※−の定義
=1+0                    ※交換法則
=1                       ※0の定義
∴(−1)×(−1)=1    Q.E.D.
【簡略版】
(−1)×(−1+1+1)+1+1
=(−1)×(−1)+(−1)×1+(−1)×1+1+1 ※分配法則
=(−1)×(−1)                    ※1の定義、結合法則、−の定義、0の定義
(−1)×(−1+1+1)+1+1
=1                            ※−の定義、交換法則、0の定義、1の定義
∴(−1)×(−1)=1    Q.E.D.
84:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:59:46ID:iBl
>>76
一行ずつゆっくり読んでいったら文系のワイにも分かったで
数学って凄いンゴ
サンキューガッツ
82:名無しさん@おーぷん2016/05/22(日)20:58:32ID:bmM
ワイ、上から読んでガチで発狂

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